図解でわかる流体解析

図解でわかるCFDの誤差：離散化誤差と丸め誤差が解析結果に与える影響

CFD解析における誤差の重要性

流体解析（CFD）は、コンピュータを用いて複雑な流体現象をシミュレーションする強力なツールです。しかし、その解析結果は常に絶対的に正しいわけではありません。CFD解析には、原理的に避けることのできない「誤差」が存在します。この誤差の性質を理解し、適切に管理することは、解析結果の妥当性を判断し、実務で信頼性の高い結論を導き出すために不可欠です。

本記事では、CFD解析における主要な誤差である「離散化誤差」と「丸め誤差」に焦点を当て、それぞれの発生メカニズム、解析結果に与える影響、そして対策について図解を交えながら解説します。これらの基礎知識を習得することで、解析エンジニアとしてのスキルを一層高めることができるでしょう。

1. CFD解析における誤差とは何か

CFD解析は、連続的な物理法則（支配方程式）を、コンピュータが扱える離散的な数値の集まりに変換して解を求めるプロセスです。この「連続量を離散化する」過程や、「有限な桁数で数値を計算する」過程で、真の値からのズレ、すなわち誤差が発生します。

[図1：CFD解析プロセスと誤差発生箇所の概念図] この図では、実際の物理現象から数理モデル化され、さらに離散化を経て数値計算が行われる一連のプロセスが示されています。誤差は、主に離散化の段階と、コンピュータによる数値演算の段階で発生することが視覚的に理解できます。具体的には、「離散化誤差」は連続方程式を近似する際に、「丸め誤差」は有限精度での数値計算時に生じます。

これらの誤差を完全に排除することは不可能ですが、その特性を理解し、可能な限り小さく抑える努力が解析の信頼性を高める上で重要となります。

2. 離散化誤差のメカニズムと影響

2.1. 離散化誤差とは

離散化誤差とは、連続的な空間や時間を有限個の点や区間に分割し、連続方程式を近似的な代数方程式に変換する際に発生する誤差です。例えば、微分を差分に置き換える「差分法」、積分を近似する「有限体積法（FVM）」、補間関数を用いる「有限要素法（FEM）」など、CFDのあらゆる数値計算手法において離散化誤差は発生します。

[図2：連続関数と離散化による近似誤差の概念図] この図は、滑らかな曲線で表される連続関数を、いくつかの点で区切られた線分（またはステップ関数）で近似した際のズレを示しています。このズレが離散化誤差の概念的な表現です。メッシュを細かくしたり、より精度の高い近似方法を用いることで、このズレを小さくすることが期待されます。

2.2. 離散化誤差の要因

離散化誤差の大きさは、主に以下の要因によって決まります。

• メッシュ解像度（空間離散化）: 空間を分割するメッシュの細かさ。メッシュが粗いと、流れ場の詳細な変化を捉えきれず、誤差が大きくなります。特に、境界層や剥離点、衝撃波など、流れが急激に変化する領域では、細かいメッシュが不可欠です。

• 差分スキームの次数: 微分の近似に用いる差分スキーム（例：中心差分、風上差分など）の精度。1次精度スキームは計算が安定しやすい一方で誤差が大きく、2次精度以上のスキームはより正確な結果をもたらしますが、計算の安定性には注意が必要です。

  [図3：異なる差分スキームによる近似精度の比較] この図では、同じ連続関数を1次精度スキームと2次精度スキームで近似した際の、近似曲線の違いと誤差の範囲が示されます。2次精度スキームの方がより真の値に近い近似を示し、誤差が小さいことが視覚的に理解できます。

• タイムステップ幅（時間離散化）: 非定常解析において、時間を進める際の区切り幅。タイムステップが大きすぎると、時間的な変化を正確に追跡できず、時間に関する離散化誤差が大きくなります。

2.3. 離散化誤差が解析結果に与える影響

離散化誤差は、解析結果に以下のような影響を与えます。

• 物理現象の再現性の低下: 特に流れが複雑な領域（渦、再循環領域など）で、物理的な挙動を正確に再現できないことがあります。例えば、渦が消滅したり、その大きさが過小評価されたりする場合があります。
• 値の過大評価または過小評価: 圧力損失、抗力、揚力などの設計上重要な物理量が、真の値からずれて計算される可能性があります。

• 数値的な拡散: 特に1次精度スキームを用いた場合に顕著で、流れ場の変化が滑らかになりすぎ、局所的なピークや勾配がぼやけてしまう現象です。

  [図4：粗いメッシュと細かいメッシュでの流れ場の再現性比較] この図では、円柱周りの流れを粗いメッシュと細かいメッシュで解析した結果を比較します。粗いメッシュではカルマン渦列が不明瞭であるか、存在しないように見えるのに対し、細かいメッシュでは明確な渦列が再現されている様子が示されます。これにより、メッシュ解像度が流れ場の詳細な再現性に与える影響が視覚的に伝わります。

2.4. 離散化誤差の対策

離散化誤差を管理し、解析精度を高めるためには、以下の対策が有効です。

• メッシュ解像度の適切な設定: 流れが複雑な領域や勾配の大きい領域では、メッシュを細かく設定することが重要です。しかし、メッシュを際限なく細かくすると計算コストが増大するため、メッシュ依存性確認（メッシュリファインメントスタディ）を行い、結果がメッシュ解像度に依存しなくなる点（メッシュ収束）を見極めることが一般的です。

  [図5：メッシュ依存性確認による誤差評価のフロー] この図では、メッシュを段階的に細かくしていき、ある評価量（例：抵抗係数）がどのように変化するかをプロットするグラフが示されます。メッシュが十分細かくなると、評価量がほぼ一定値に収束する様子が示され、この時点で離散化誤差が許容範囲内に収まっていると判断できます。

• 高次精度スキームの適用: 可能であれば、2次精度以上の差分スキームを使用することで、離散化誤差を低減できます。ただし、高次精度スキームは数値的な安定性に課題がある場合もあるため、慎重な設定が必要です。

• 適切なタイムステップの設定: 非定常解析では、時間的な変化を捉えるために十分小さなタイムステップを設定します。CFL条件（Courant-Friedrichs-Lewy条件）などを参考に、安定性と精度を両立できる値を選びます。

3. 丸め誤差のメカニズムと影響

3.1. 丸め誤差とは

丸め誤差とは、コンピュータが数値を有限の桁数（有限精度）で表現・計算する際に、桁あふれや端数処理によって発生する誤差です。例えば、円周率πや1/3といった無限小数や循環小数は、コンピュータの内部では近似値として表現されます。

[図6：浮動小数点数の表現限界の概念図（例：0.1の表現）] この図では、10進数の0.1が2進数で正確に表現できないこと、そしてそれに伴う微小な誤差が示されます。多くの浮動小数点数（例：IEEE 754標準）は特定のビット数で数を表現するため、連続的な実数を完全に表現することはできません。

3.2. 丸め誤差の発生原因

丸め誤差は、主に以下の状況で発生します。

• 数値の表現: 浮動小数点数（例：単精度（float）や倍精度（double））が持つ表現可能な桁数には限界があります。
• 多数の演算による誤差の蓄積: CFD解析では膨大な数の計算が行われるため、個々の計算で生じるわずかな丸め誤差が積み重なり、無視できない影響を与えることがあります。
• 桁落ち（Cancellation Error）: 絶対値がほぼ等しい大きな数値同士の引き算で、有効数字の桁が失われる現象です。例えば、$1.2345678 - 1.2345677 = 0.0000001$ のような計算で、結果の有効数字が極端に減り、相対誤差が大きくなります。

• 情報落ち（Loss of Significance）: 絶対値が大きく異なる数値同士の足し算や引き算で、絶対値の小さい方の数値の情報が失われる現象です。例えば、$100000000.0 + 0.0000001 = 100000000.0$ となり、0.0000001の情報が失われます。

  [図7：桁落ちと情報落ちの具体例] この図では、具体的な数値例を用いて桁落ちと情報落ちが発生する計算過程とその結果における有効数字の減少が示されます。これにより、コンピュータの数値表現の限界がどのように計算結果に影響するかを理解しやすくなります。

3.3. 丸め誤差が解析結果に与える影響

丸め誤差が支配的になるケースは比較的稀ですが、以下のような影響を与える可能性があります。

• 数値的な不安定性: 特に反復計算において、微小な丸め誤差が拡大し、計算が収束しなくなる、あるいは物理的に意味のない振動解を示すことがあります。
• 収束判定の誤り: 残差が収束閾値を下回ったとしても、それが物理的に意味のある収束なのか、丸め誤差レベルでの停滞なのかの判断が難しくなることがあります。

• 特定の物理現象への影響: 非常に小さな流れの変化や、ごくわずかな量の輸送を扱う問題など、本質的に小さな数値が関わる現象を解析する際には、丸め誤差が結果に影響を与える可能性が高まります。

  [図8：丸め誤差による計算結果の微小な変動] この図は、収束過程において残差が完全にゼロにはならず、ある程度のレベルで微小な振動を続ける様子を示しています。この振動が、丸め誤差によって引き起こされている可能性を示唆しています。

3.4. 丸め誤差の対策

丸め誤差を最小限に抑えるためには、以下の対策が考えられます。

• 倍精度演算の利用（Double Precision）: 多くのCFDソフトウェアでは、浮動小数点数の表現に倍精度（64ビット）が標準で用いられています。単精度（32ビット）と比較して、倍精度はより多くの有効数字を保持できるため、丸め誤差の影響を大幅に低減できます。特別な理由がない限り、倍精度演算を使用することが推奨されます。
• 計算アルゴリズムの工夫: 桁落ちや情報落ちが発生しにくい、数値的に安定なアルゴリズムを選択することが重要です。例えば、連立一次方程式を解く際に、条件数の悪い行列に対しては安定したソルバーを選択するなどの工夫が考えられます。
• 収束判定基準の考慮: 解析の目的や物理現象のスケールに応じて、適切な収束判定基準を設定します。丸め誤差のレベル以下で収束を試みても、それ以上の精度向上は望めないどころか、かえって不安定になる可能性もあります。

4. 離散化誤差と丸め誤差のバランス

CFD解析の誤差を考える上で重要なのは、離散化誤差と丸め誤差のどちらが支配的であるかを理解することです。

一般的に、ほとんどのCFD解析では、離散化誤差の方が丸め誤差よりもはるかに大きく、解析結果の精度に与える影響も支配的です。したがって、まずはメッシュの品質向上や高次精度スキームの適用など、離散化誤差の低減に注力することが重要です。

しかし、メッシュを極限まで細かくし、高次精度スキームを用いた非常に高精度の解析では、離散化誤差が十分に小さくなった結果、相対的に丸め誤差の影響が顕在化してくることがあります。また、非常に小さな数値の差を扱う場合や、長時間の非定常解析を行う場合など、特定の状況下では丸め誤差が無視できない問題となることもあります。

[図9：誤差の相対的寄与の概念図] この図では、計算コスト（またはメッシュ解像度やスキーム精度）に対する離散化誤差、丸め誤差、およびそれらの合計誤差の傾向が示されます。一般的に、計算コストを上げる（精度を上げる）と離散化誤差は減少しますが、丸め誤差はほぼ一定か、特定の点で増加に転じる可能性があります。両者の合計誤差が最小となる点が最適解であるという概念が示されます。

重要なのは、両方の誤差の特性を理解し、現在の解析がどちらの誤差によって支配されているのか、そしてどのようにバランスを取るべきかを適切に判断する知見です。

まとめ

CFD解析において、離散化誤差と丸め誤差は常に存在し、解析結果の信頼性に直接影響を与えます。離散化誤差は、メッシュの細かさや差分スキームの精度に依存し、流れ場の再現性や物理量の値に大きな影響を与えます。一方、丸め誤差はコンピュータの数値表現の限界に起因し、主に数値的安定性や収束判定に影響を及ぼします。

これらの誤差のメカニズムを深く理解し、メッシュ依存性確認による離散化誤差の評価、高精度スキームの適用、適切なタイムステップや倍精度演算の利用といった対策を講じることは、CFD解析をより実用的なものにする上で不可欠です。本記事で解説した原理原則の知識は、日々の解析業務におけるトラブルシューティングや結果評価の際に、確かな判断基準を提供することでしょう。